미분법을 이용해서 비선형 연립방정식 해를 구합니다.
위의 뉴턴-랩슨 법(Newton-Raphson method)을 행렬로 확장하면 아래와 같은 식이 됩니다.
위식에서 J는 야코비안 행렬이며 J-1은 야코비안 행렬의 역행렬입니다.
독일의 수학자 Karl Gustav Jacob Jacobi의 이름을 따서 야코비안 행렬(Jacobian matrix)이라하며 각항에 대한 미분함수로 이루어집니다.
2차 행렬의 역행렬을 구하면 위와 같습니다.
3차 행렬의 역행렬은 위와 같습니다.
예제1)
위의 연립 방정식의 해를 구하겠습니다.
초기 값을 1,1로 적당히 정합니다.
위는 함수 행렬이며 초기 값을 넣어 계산을 하면 위와 같습니다.
야코비안 행렬이며 값을 넣어 계산하면 위와 같습니다.
야코비안 행렬의 역행렬은 위와 같습니다.
위에서 구한 값을 아래식에 대입합니다.
구해진 값을 다시 초기 값에 넣습니다.
위의 값으로 위의 과정을 F(x)가 0일때까지 반복하면 해를 구할 수 있으며 아래는 구한 값을 표로 나타냈습니다.
| n |  |
 |
 |
 |
| 0 | 1 | 1 | 0.158529015192103 | 0.459697694131860 |
| 1 | 0.875429441807366 | 0.601736551836384 | 0.104833873952473 | 0.051075601774741 |
| 2 | 0.827707837978701 | 0.595811544056067 | 0.005882210344138 | 0.000014489348108 |
| 3 | 0.826035537346383 | 0.598765693112411 | 0.000009391865649 | 0.000003609224628 |
| 4 | 0.826031357666770 | 0.598766705233376 | 0.000000000043580 | 0.000000000000423 |
| 5 | 0.826031357654187 | 0.598766705254952 | 0.000000000000000 | 0.000000000000000 |
예제2)
인벌류트(involute) 치형의 언더컷(under cut) 수치해석