xie, yie: 인벌류트 곡선의 끝점, xe, ye: 이끝점 좌표, xem, yem: 대칭된 이끝점 좌표, xts, yts: 이뿌리 끝점 좌표
xrm, yrm: 대칭된 이뿌리 끝점 좌표, xis, yis, xte, yte: 인벌류트 곡선과 트로벌류트 곡선이 만나는 점
x0, y0: 기어 중심 좌표, xi, yi: 인벌류트 곡선 좌표, xt, yt: 트로벌류트 곡선 좌표
인벌류트 기어는 위와 같이 여러 곡선들로 이루어져 있습니다. 트로벌류트 곡선은 멀리서 보면 인벌류트와 닮아 있고 가까이서 보면 트로코이드 곡선과 닮아 있어 트로벌류트(tro-volute)라 칭하겠습니다. 아래는 곡선의 수식과 좌표를 구합니다.
1. 인벌류트 곡선 부분
αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, π: 원주율, B: 백래시 계수, X: 전위계수, Z: 톱니 수
위 그림은 B점의 인벌류트 곡선을 그리고 있으며 mX만큼 전위된 상태입니다.
선분 OA는 기초원의 반지름이며 기초원에 접하는 접선 AP는 피치원 위의 한점 P를 지나므로 ∠AOP는 압력각이 됩니다. 인벌류트 곡선의 정의에 의해 시작 점 K에서 A까지 호의 길이는 직선 AB와 같으며 ∠AOK에 기초원의 반지름을 곱한 값과 같습니다.
호브의 표면선을 연장한 직선 MR이 이루는 ∠RMU 또한 압력각이고 직선 RU는 피치의 1/4에 해당 되며 삼각함수를 이용해 직선 NP의 길이를 구할 수 있습니다. 직선 BN은 백래시이며 치형의 반대편에도 같은 간격이 있으므로 백래시 거리 mB의 1/2이 됩니다.
위 식을 정리하면 아래와 같습니다.
위 식으로 인벌류트 곡선의 시작 각도를 구합니다.
αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, θi: 인벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수
x0, y0: 기어 중심 좌표, xi, yi: 인벌류트 곡선 좌표
위 그림은 인벌류트 곡선 위의 I점을 그리는 상태입니다.
피타고라스 정리에 의해 직각 삼각형 EOI에서 직선 OI의 길이를 구하고 ∠IOP를 구해 I점의 좌표를 구합니다.
위 식을 정리하면 아래와 같습니다.
위 식으로 인벌류트 곡선의 좌표를 구해 인벌류트 곡선을 그립니다.
위 그림에서 점E와 만나는 수직선을 그려 위식을 구할 수 있으며 위식으로 인벌류트 곡선을 그려도 같은 결과를 얻습니다.
αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, C: 호브 날끝 모깎기 반지름 계수
θis: 인벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수 범위의 최소 값, X: 전위계수, D: 호브의 어덴덤(일반기어의 디덴덤)
위 그림은 B점의 인벌류트 곡선을 그리고 있으며 mX만큼 전위된 상태입니다.
인벌류트 곡선의 일부분이 기어에 사용 되며 θi의 시작 범위를 위 그림을 통해 구합니다.
호브의 경사 면에 의해 기어에 사용 되는 인벌류트 곡선이 만들어지고 호브의 경사면의 시작점 C는 S점에서 만났습니다. 직선 AS는 인벌류트 곡선의 정의에 의해 구하고 ∠PST와 ∠RCT는 압력각과 같으므로 이를 이용해서 선분 SP의 길이를 구합니다.
위 식을 정리하면 아래와 같습니다.
위 식으로 인벌류트 곡선 작도에 필요한 변수 범위의 최소 값을 구합니다.(θis가 0보다 적으면 인벌류트 곡선을 그릴 수 없으며 이는 언더 컷이 발생하는 조건과 같습니다.)
α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, θie: 인벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수 범위의 최대 값
E: 이끝 모깎기 반지름 계수, X: 전위계수, A: 호브의 디덴덤(일반기어의 어덴덤)
위 그림은 인벌류트 곡선의 마지막 점 G를 그리는 상태입니다.
인벌류트 곡선의 마지막 점 G와 이끝원의 한점 J를 연결하는 호 GJ의 중심점 H는 직선 FG 위에 있게 됩니다. 또한 중심점 H는 직선 OJ위에 있게 됩니다. 직각 삼각형 FOH에서 피타고라스 정리를 이용한 관계식에서 인벌류트 곡선의 범위를 구합니다.
위 식을 정리하면 아래와 같습니다.
위 식으로 인벌류트 곡선 작도에 필요한 변수 범위의 최대 값을 구합니다.
2. 이끝 모깎기 부분
αe: 기어 중심과 이끝점이 이루는 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, E: 이끝 모깎기 반지름 계수, X: 전위계수
θie: 인벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수 범위의 최대 값, A: 호브의 디덴덤(일반기어의 어덴덤), x0, y0: 기어 중심 좌표
xe, ye: 이끝점 좌표
위 그림은 인벌류트 곡선의 마지막 점 G를 그리는 상태입니다.
직선 OJ가 이루는 각 αe를 구해서 J점의 좌표를 구합니다.
위 식을 정리하면 아래와 같습니다.
위 식으로 치형의 끝점 좌표를 구해 이끝 모깎기 호를 그립니다.
3. 트로벌류트 곡선 부분
αts: 트로벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, B: 백래시 계수, π: 원주율, C: 호브 날끝 모깎기 반지름 계수, D: 호브의 어덴덤(일반기어의 디덴덤)
위 그림은 호브의 날이 수평선의 중앙에 위치한 상태입니다.
치형의 반대편에도 백래시 간격이 있으므로 직선 BN은 백래시 거리의 1/2에 해당합니다. 호브의 표면을 연장한 직선 MR이 이루는 ∠RMU는 압력각이며 피치의 1/4인 직선 RU를 이용해서 직선 VT의 길이를 구합니다. ∠SGT도 압력각과 같으며 직선 GT의 길이를 구해 VT에서 빼면 됩니다. 직선 KG를 피치원의 반지름으로 나누면 트로벌류트 곡선의 시작 각도를 구 할 수 있습니다.
위 식을 정리하면 아래와 같습니다.
위 식으로 트로벌류트 곡선의 시작 각도를 구합니다.
αts: 트로벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, θs: 트로벌류트 곡선 작도를 위한 각도 치환 변수
θt: 트로벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수, x0, y0: 기어 중심 좌표, xt, yt: 트로벌류트 곡선 좌표
C: 호브 날끝 모깎기 반지름 계수, D: 호브의 어덴덤(일반기어의 디덴덤)
위 그림은 트로벌류트 곡선 위의 점 T를 그리는 상태입니다.
트로벌류트 곡선은 θt만큼 회전을 하면 θt에 해당하는 피치훤호와 같은 길이 PQ만큼 호브가 이동하는 것과 같습니다. 이 때 피치원 위의 점 Q에서 호브의 날 끝 원호의 중심 V를 지나는 직선이 호브의 날 끝 원호와 만나는 점 T를 그리게 됩니다. θs를 치환자로 두고 식을 구합니다. 직선 OH를 구해서 직선 GR을 구해서 더하고 직선 UV를 구해서 빼면 x축 좌표를 구합니다. 똑 같이 y축도 구합니다.
α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, X: 전위계수, θts: 트로벌류트 곡선 작도를 위한 변수의 최소값
θte: 트로벌류트 곡선 작도를 위한 변수의 최대 값, C: 호브 날끝 모깎기 반지름 계수, D: 호브의 어덴덤(일반기어의 디덴덤)
위는 트로벌류트 곡선 작도를 위해 호브의 총 움직인 거리를 표시한 그림입니다.
호브의 날끝 모깎기 호 KB에 의해 트로벌류트 곡선이 만들어지며 호브가 K점에서 S까지 변 할 때가 트로벌류트 곡선의 범위가 됩니다. K점에서 각도는 0이며 S점의 각도는 직선 SB를 피치원 반지름으로 나누면 구 할 수 있습니다.
위 식을 정리하면 아래와 같습니다.
위 식으로 트로벌류트 곡선 작도에 필요한 변수 범위를 구합니다.
4. 치형 대칭 각도
αm: 치형 대칭 각도, m: 모듈, Z: 톱니 수, m: 모듈, π: 원주율, B: 백래시 계수, Z: 톱니 수
위는 호브가 피치의 1/2을 이동하는 모습을 나타낸 그림입니다.
이 끝 원호의 중간 점 C와 기어 중심 점 O를 잇는 직선 OC를 대칭선으로 하여 반대편 치형을 얻을 수 있습니다.
위 식을 정리하면 아래와 같습니다.
위 식으로 기어의 치형을 대칭할 각도를 구해 인벌류트 곡선, 트로벌류트 곡선, 이끝 모깎기 호를 대칭합니다.
5. 이끝원호 부분
αem: 기어 중심과 대칭된 이끝점이 이루는 각도, αm: 치형 대칭 각도, αe: 기어 중심과 이끝점이 이루는 각도, m: 모듈
Z: 톱니 수, A: 호브의 디덴덤(일반기어의 어덴덤), x0, y0: 기어 중심 좌표, xem, yem: 대칭된 이끝점 좌표
위는 이끝원호의 끝점 G를 대칭하여 S점을 표기한 그림입니다.
위 식을 정리하여 좌표를 구하면 아래와 같습니다.
위 식으로 대칭된 이끝점의 좌표를 구해 이끝원호를 그립니다.
6. 이뿌리 원호 부분
αts: 트로벌류트 곡선의 시작 각도, m: 모듈, Z: 톱니 수, X: 전위계수, D: 호브의 어덴덤(일반기어의 디덴덤)
x0, y0: 기어 중심 좌표, xte, yte: 이뿌리 끝점 좌표, xrm, yrm: 대칭된 이뿌리 끝점 좌표
위는 이뿌리호의 끝점 T를 대칭하여 R점을 표기한 그림입니다. 트로벌류트 곡선의 시작 각도와 같습니다.
위 식을 정리하면 아래와 같습니다.
위 식으로 대칭된 이뿌리 끝점 좌표를 구해 이뿌리호를 그립니다.
7. 기어 작도의 특이 사항
D-X=C (∵C≠0) 이면 트로벌류트 곡선 부분을 mC를 반지름으로 하는 호를 그립니다.
D-X=C (∵C=0) 이면 트로벌류트 곡선 부분은 작도하지 않으며 xis, yis 점을 대칭하여 이뿌리호를 그립니다.
E=0 이면 이끝 모깎기 원호를 작도하지 않습니다.
이면 이끝 모깎기 호의 반지름을 더 작게하여 치형의 끝부분을 작도합니다.
위 식으로 이 끝 모깎기 호의 비율을 구할 수 있습니다.
이면 이끝 모깎기 호와 이끝 원호를 작도 하지 않습니다.
위의 조건을 함수로 바꾸면 아래와 같습니다.
위 함수를 미분 하면 아래와 같습니다.
뉴턴-랩슨법을 이용해 식을 쓰면 아래와 같습니다.
위 식을 정리하면 아래와 같습니다.
θie를 반복 대입하여 θie를 구하고 f(θie)값이 오차 범위 안에 들어면 반복을 멈추고 θie값을 사용합니다.
위와 같은 조건이면 언더컷(undercut)이 발생하며 θis, θte를 다시 구해서 작도를 해야 됩니다.(그냥 작도를 하면 트로벌류트 곡선과 인벌류트 곡선이 교차하여 그려집니다. 언더컷이 심하면 실제 기어로 사용이 불가능합니다.)
8. 내륜기어 작도
내접하는 기어는 A↔D, C↔E, B←-B 로 치환하여 작도합니다.(트로벌류트 곡선을 작도하지 않고 인벌류트 곡선만 작도 하여도 회전에 문제가 없습니다.)
9. 곡률 반경
곡률 반경을 이용하여 인벌류트 곡선 부분을 원호로 작도 하면 치형 오차 범위 내에서 원호의 수를 줄일 수 있습니다. 곡률 반경이 작은 부분에서 원호의 길이를 짧게하고 곡률 반경이 큰 부분에서 원호의 길이를 길게합니다.
위는 인벌류트 곡선의 곡률 반경입니다.
위는 트로벌류트 곡선의 곡률 반경입니다.
* 구체적이지 못한 부분이 몇군데 있으나 중요하지 않으므로 다음 기회에 수정을 하겠습니다...ㅜ.ㅜ 이해가 안되는 부분이 있으면 댓글을 달면 답을 드리겠습니다.