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아랫글과 관련하여 의문점이나 해결해야 하는 문제가 있다면 댓글이나 e58000골뱅이tro점kr로 메일을 주시면 필자도 해결점을 적극 찾아보겠습니다. - 글쓴이 오만팔천


아래 자료는 스크랩 및 상업적인 사용을 금합니다.


xieyie: 인벌류트 곡선의 끝점, xeye: 이끝점 좌표, xemyem: 대칭된 이끝점 좌표, xtsyts: 이뿌리 끝점 좌표

xrmyrm: 대칭된 이뿌리 끝점 좌표, xisyisxteyte: 인벌류트 곡선과 트로벌류트 곡선이 만나는 점

x0y0: 기어 중심 좌표,  xiyi: 인벌류트 곡선 좌표, xtyt: 트로벌류트 곡선 좌표

인벌류트 기어는 위와 같이 여러 곡선들로 이루어져 있습니다. 트로벌류트 곡선은 멀리서 보면 인벌류트와 닮아 있고 가까이서 보면 트로코이드 곡선과 닮아 있어 트로벌류트(tro-volute)라 칭하겠습니다. 아래는 곡선의 수식과 좌표를 구합니다.


1. 인벌류트 곡선 부분


αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, π: 원주율, B: 백래시 계수, X: 전위계수, Z: 톱니 수

위 그림은 B점의 인벌류트 곡선을 그리고 있으며 mX만큼 전위된 상태입니다.

선분 OA는 기초원의 반지름이며 기초원에 접하는 접선 AP는 피치원 위의 한점 P를 지나므로 ∠AOP는 압력각이 됩니다. 인벌류트 곡선의 정의에 의해 시작 점 K에서 A까지 호의 길이는 직선 AB와 같으며 ∠AOK에 기초원의 반지름을 곱한 값과 같습니다.
호브의 표면선을 연장한 직선 MR이 이루는 ∠RMU 또한 압력각이고 직선 RU는 피치의 1/4에 해당 되며 삼각함수를 이용해 직선 NP의 길이를 구할 수 있습니다. 직선 BN은 백래시이며 치형의 반대편에도 같은 간격이 있으므로 백래시 거리 mB의 1/2이 됩니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.


위 식으로 인벌류트 곡선의 시작 각도를 구합니다.



αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, θi: 인벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수
x0, y0: 기어 중심 좌표,  xi, yi: 인벌류트 곡선 좌표

위 그림은 인벌류트 곡선 위의 I점을 그리는 상태입니다.

피타고라스 정리에 의해 직각 삼각형 EOI에서 직선 OI의 길이를 구하고 ∠IOP를 구해 I점의 좌표를 구합니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.


위 식으로 인벌류트 곡선의 좌표를 구해 인벌류트 곡선을 그립니다.


위 그림에서 점E와 만나는 수직선을 그려 위식을 구할 수 있으며 위식으로 인벌류트 곡선을 그려도 같은 결과를 얻습니다.




αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, C: 호브 날끝 모깎기 반지름 계수
θis: 인벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수 범위의 최소 값, X: 전위계수, D: 호브의 어덴덤(일반기어의 디덴덤)

위 그림은 B점의 인벌류트 곡선을 그리고 있으며 mX만큼 전위된 상태입니다.

인벌류트 곡선의 일부분이 기어에 사용 되며 θi의 시작 범위를 위 그림을 통해 구합니다.
호브의 경사 면에 의해 기어에 사용 되는 인벌류트 곡선이 만들어지고 호브의 경사면의 시작점 C는 S점에서 만났습니다. 직선 AS는 인벌류트 곡선의 정의에 의해 구하고 ∠PST와 ∠RCT는 압력각과 같으므로 이를 이용해서 선분 SP의 길이를 구합니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.


위 식으로 인벌류트 곡선 작도에 필요한 변수 범위의 최소 값을 구합니다.(θis가 0보다 적으면 인벌류트 곡선을 그릴 수 없으며 이는 언더 컷이 발생하는 조건과 같습니다.)



α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, θie: 인벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수 범위의 최대 값
E: 이끝 모깎기 반지름 계수, X: 전위계수,  A: 호브의 디덴덤(일반기어의 어덴덤)

위 그림은 인벌류트 곡선의 마지막 점 G를 그리는 상태입니다.

인벌류트 곡선의 마지막 점 G와 이끝원의 한점 J를 연결하는 호 GJ의 중심점 H는 직선 FG 위에 있게 됩니다. 또한 중심점 H는 직선 OJ위에 있게 됩니다. 직각 삼각형 FOH에서 피타고라스 정리를 이용한 관계식에서 인벌류트 곡선의 범위를 구합니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.


위 식으로 인벌류트 곡선 작도에 필요한 변수 범위의 최대 값을 구합니다.


2. 이끝 모깎기 부분


αe: 기어 중심과 이끝점이 이루는 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, E: 이끝 모깎기 반지름 계수, X: 전위계수
θie: 인벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수 범위의 최대 값,  A: 호브의 디덴덤(일반기어의 어덴덤), x0y0: 기어 중심 좌표
xeye: 이끝점 좌표

위 그림은 인벌류트 곡선의 마지막 점 G를 그리는 상태입니다.

직선 OJ가 이루는 각 αe를 구해서 J점의 좌표를 구합니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.



위 식으로 치형의 끝점 좌표를 구해 이끝 모깎기 호를 그립니다.


3. 트로벌류트 곡선 부분


αts: 트로벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, B: 백래시 계수, π: 원주율, C: 호브 날끝 모깎기 반지름 계수, D: 호브의 어덴덤(일반기어의 디덴덤

위 그림은 호브의 날이 수평선의 중앙에 위치한 상태입니다.

치형의 반대편에도 백래시 간격이 있으므로 직선 BN은 백래시 거리의 1/2에 해당합니다. 호브의 표면을 연장한 직선 MR이 이루는 ∠RMU는 압력각이며 피치의 1/4인 직선 RU를 이용해서 직선 VT의 길이를 구합니다. ∠SGT도 압력각과 같으며 직선 GT의 길이를 구해 VT에서 빼면 됩니다. 직선 KG를 피치원의 반지름으로 나누면 트로벌류트 곡선의 시작 각도를 구 할 수 있습니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.


위 식으로 트로벌류트 곡선의 시작 각도를 구합니다.


αts: 트로벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, θs: 트로벌류트 곡선 작도를 위한 각도 치환 변수
θt: 트로벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수, x0y0: 기어 중심 좌표,  xtyt: 트로벌류트 곡선 좌표
C: 호브 날끝 모깎기 반지름 계수, D: 호브의 어덴덤(일반기어의 디덴덤

위 그림은 트로벌류트 곡선 위의 점 T를 그리는 상태입니다.

트로벌류트 곡선은 θt만큼 회전을 하면 θt에 해당하는 피치훤호와 같은 길이 PQ만큼 호브가 이동하는 것과 같습니다. 이 때 피치원 위의 점 Q에서 호브의 날 끝 원호의 중심 V를 지나는 직선이 호브의 날 끝 원호와 만나는 점 T를 그리게 됩니다. θs를 치환자로 두고 식을 구합니다. 직선 OH를 구해서 직선 GR을 구해서 더하고 직선 UV를 구해서 빼면 x축 좌표를 구합니다. 똑 같이 y축도 구합니다.


위 식을 정리하면 아래와 같습니다.



위 식으로 트로벌류트 좌표를 구해 트로벌류트 곡선을 그립니다.




α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, X: 전위계수, θts: 트로벌류트 곡선 작도를 위한 변수의 최소값
θte: 트로벌류트 곡선 작도를 위한 변수의 최대 값, C: 호브 날끝 모깎기 반지름 계수, D: 호브의 어덴덤(일반기어의 디덴덤

위는 트로벌류트 곡선 작도를 위해 호브의 총 움직인 거리를 표시한 그림입니다.

호브의 날끝 모깎기 호 KB에 의해 트로벌류트 곡선이 만들어지며 호브가 K점에서 S까지 변 할 때가 트로벌류트 곡선의 범위가 됩니다. K점에서 각도는 0이며 S점의 각도는 직선 SB를 피치원 반지름으로 나누면 구 할 수 있습니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.

위 식으로 트로벌류트 곡선 작도에 필요한 변수 범위를 구합니다.


4. 치형 대칭 각도

αm: 치형 대칭 각도, m: 모듈, Z: 톱니 수, m: 모듈, π: 원주율, B: 백래시 계수, Z: 톱니 수

위는 호브가 피치의 1/2을 이동하는 모습을 나타낸 그림입니다.

이 끝 원호의 중간 점 C와 기어 중심 점 O를 잇는 직선 OC를 대칭선으로 하여 반대편 치형을 얻을 수 있습니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.


위 식으로 기어의 치형을 대칭할 각도를 구해 인벌류트 곡선, 트로벌류트 곡선, 이끝 모깎기 호를 대칭합니다.


5. 이끝원호 부분


αem: 기어 중심과 대칭된 이끝점이 이루는 각도, αm: 치형 대칭 각도, αe: 기어 중심과 이끝점이 이루는 각도, m: 모듈
Z: 톱니 수, A: 호브의 디덴덤(일반기어의 어덴덤), x0y0: 기어 중심 좌표,  xemyem: 대칭된 이끝점 좌표

위는 이끝원호의 끝점 G를 대칭하여 S점을 표기한 그림입니다.

위 식을 정리하여 좌표를 구하면 아래와 같습니다.


위 식으로 대칭된 이끝점의 좌표를 구해 이끝원호를 그립니다.


6. 이뿌리 원호 부분


αts: 트로벌류트 곡선의 시작 각도, m: 모듈, Z: 톱니 수, X: 전위계수, D: 호브의 어덴덤(일반기어의 디덴덤)
x0y0: 기어 중심 좌표,  xteyte: 이뿌리 끝점 좌표,   xrmyrm: 대칭된 이뿌리 끝점 좌표

위는 이뿌리호의 끝점 T를 대칭하여 R점을 표기한 그림입니다. 트로벌류트 곡선의 시작 각도와 같습니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.


위 식으로 대칭된 이뿌리 끝점 좌표를 구해 이뿌리호를 그립니다.


7. 기어 작도의 특이 사항

D-X=(C≠0) 이면 트로벌류트 곡선 부분을 mC를 반지름으로 하는 호를 그립니다.
D-X=C (∵C=0) 이면 트로벌류트 곡선 부분은 작도하지 않으며 xis, yis 점을 대칭하여 이뿌리호를 그립니다.


E=0 이면 이끝 모깎기 원호를 작도하지 않습니다.

이면 이 끝 원호는 작도하지 않습니다.

이면 이끝 모깎기 호의 반지름을 더 작게하여 치형의 끝부분을 작도합니다.



위 식으로 이 끝 모깎기 호의 비율을 구할 수 있습니다.
 

이면 이끝 모깎기 호와 이끝 원호를 작도 하지 않습니다.


위와 같은 조건이 되면 인벌류트 곡선의 끝부분을 작도 할 수 없으며 θie를 뉴턴-랩슨 법(Newton-Raphson method)로 다시 구해서 작도를 합니다.

위의 조건을 함수로 바꾸면 아래와 같습니다.

위 함수를 미분 하면 아래와 같습니다.


뉴턴-랩슨법을 이용해 식을 쓰면 아래와 같습니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.

θie를 반복 대입하여 θie를 구하고 f(θie)값이 오차 범위 안에 들어면 반복을 멈추고 θie값을 사용합니다.



위와 같은 조건이면 언더컷(undercut)이 발생하며 θisθte를 다시 구해서 작도를 해야 됩니다.(그냥 작도를 하면 트로벌류트 곡선과 인벌류트 곡선이 교차하여 그려집니다. 언더컷이 심하면 실제 기어로 사용이 불가능합니다.)

언더컷이 발생 했을 때 θisθte를 다시 구하며 구하는 방법은 여기를 클릭하세요.


8. 내륜기어 작도

내접하는 기어는 A↔D, C↔E, B←-B 로 치환하여 작도합니다.(트로벌류트 곡선을 작도하지 않고 인벌류트 곡선만 작도 하여도 회전에 문제가 없습니다.)



9. 곡률 반경

곡률 반경을 이용하여 작도를 하면 치형 오차 범위 내에서 곡선의 수를 줄일 수 있습니다. 곡률 반경이 작은 부분에서 곡선의 길이를 짧게하고 곡률 반경이 큰 부분에서 곡선의 길이를 길게합니다.


위는 인벌류트 곡선의 곡률 반경입니다.




위는 트로벌류트 곡선의 곡률 반경입니다.

 
* 구체적이지 못한 부분이 몇군데 있으나 중요하지 않으므로 다음 기회에 수정을 하겠습니다...ㅜ.ㅜ 이해가 안되는 부분이 있으면 댓글을 달면 답을 드리겠습니다.


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  1. 박길원 2011.06.30 15:45 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    수고가 많으십니다.
    늘 이곳에와서 기어공부를 하고 많은 도움을 받는 사람입니다.

    한가지 질문이 잇읍니다.
    기어의 이끝모서리 R이 랙위를 구를때 RACK 바닥면의 트로코이드 궤적의 식을 알고 싶습니다.
    거구로 이야기하면 기어의 이끝모서리 R을 만들수 있는 랙의 치형을 알고 싶습니다.
    어디에 나와 있는곳이 있나요?
    자세히 알고 싶읍니다.
    어려운 부탁인줄 아오나 식을 만들기가 어렵습니다.

    그럼 수고하세요...
    cadaros@naver.com 이 이메일 주소있니다.

    • BlogIcon 오만팔천 2011.09.20 15:10 신고 댓글주소 | 수정/삭제

      기어의 이끝에 의해 랙에 형성되는 트로코이드 곡선은 없습니다.
      랙의 이끝에 의해 기어에 트로코이드 곡선이 현성됩니다.
      식은 위에 있습니다.

  2. BlogIcon 오만팔천 2011.09.23 16:14 신고 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    트로코이드 곡선 수식의 부호에 문제가 있어 수정하였습니다.

  3. 박길원 2011.11.11 15:54 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    네 말씀하신대로 보통 기어는 랙의 이끝의 R에 의해 기어의 트로코이드가 형성되는것이 맞습니다.
    그러나 제가 알고 싶은것은 기어의 이끝의 R이 형성되었을때 반대로 이 기어가 랙위로 구를때
    기어치형이 공구가 되어 RACK의 치형을 구하는 방정식을 알고 싶다는 것입니다.
    CAD로 구르는 형상을 시뮬레이션하여 구할수 있으나 기어가 바뀔때마다 그릴수도 없고 이것을 저는 C로 표현고자 합니다.
    그래서 방정식을 알고 싶어서 그럽니다.
    한수 알려 주십시요...

    • BlogIcon 오만팔천 2011.11.11 16:16 신고 댓글주소 | 수정/삭제

      원통기어를 말씀하시는 모양인데....
      현재 모노레일과 같은 곳에 쓰이고 있습니다.
      즉, 원통치형에 의해 랙 형성모양을 어떻게 구할 것인지를 물어 보시는 것 같습니다. 하지만 저에게 수식은 아직 없습니다. 인벌류트 기어 수식보다 쉬운 평지를 굴러 가는 트로코이드 수식쯤 될것으로 추정합니다. 언제 시간이 되면 볼로그에 올려 드리겠습니다.

  4. 백래시계수 2013.01.07 17:38 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    인벌류트 시작 각도 공식으로 계산하면 값이 좀 이상하게 나오는데요..B가 백래시계수가 맞는지요??
    보통 값은 얼마나 넣어야하는지...?? 그리고 계산하면 각도가 19.7정도 나오던데.. 아무래도 이상해서
    여쭤봅니다... ^^;

    • BlogIcon 오만팔천 2013.01.08 05:18 신고 댓글주소 | 수정/삭제

      모든 수식에 각도 값을 라디안으로 넣어야 됩니다. 물론 계산 되어진 각도 값도 라디안입니다.
      위의 수식을 그대로 이용한 LISP프로그램이 정상 작동하기 때문에 수식에 오류가 전혀 없습니다.

  5. 추운 날씨 2013.11.04 13:34 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    인벌류트 곡선 작도에 필요한 변수 범위를 구할 때 호브가 어떻게 돌아서 c점하고 s점이 만나는 건지 설명해주실 수 있으세요? 그리고 선분 AP에서 호브 때문에 선분 SP만큼 인벌류트 곡선을 못그려서 선분 AS만큼이 나오는건가요? 그러면 세타 is의 시작점은 점 A가 되는건가요?

    • BlogIcon 오만팔천 2013.11.04 15:09 신고 댓글주소 | 수정/삭제

      기어를 가공 할 때 호브는 직선운동을 합니다. 즉, 위 그림에서 위 아래로 움직입니다. 그래서 호브의 끝점 C가 S점에서 기어와 만납니다.

      호브가 S점에 있을 때 인벌류트 곡선을 그리기 시작하여 호브가 아래로 내려오면서 기어의 인벌류트 곡선이 형성됩니다.

  6. 2015.03.23 00:07 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    비밀댓글입니다

  7. 나그네 2015.12.02 13:49 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    좋은 자료 잘 공부하고 갑니다. 좋은 자료 만드시느라 고생많으셨습니다.
    감사합니다.

  8. 마크툽 2016.03.13 14:42 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    안녕하세요
    오마팔천원님
    오만팔천원님 홈페이지 보고 열심 공부중이 마크툽 입니다.
    지금 오마팔천원님의 수식을 보고 엑셀로 프로그램 만들고 있습니다.

    xrm,yrm 까지 이해를 했고, xt, yt 하고 있습니다.
    θt의 증가량을 어떤 기준으로 해야 하는 조언 부탁 드립니다.

    그리고 메일 주소도 알려주세요(프로그램 첨부하기 위해서)

    • BlogIcon 오만팔천 2016.03.14 14:00 신고 댓글주소 | 수정/삭제

      엑셀로 만들어 어디에 쓰실지...??

      θt의 증가량이 작으로 다음점의 좌표가 가깝습니다.
      즉, 증가량이 작으면 점이 촘촘하게 나열됩니다.

      메일은 이 글 제일 위에 있어요.

  9. 마크툽 2018.04.19 08:56 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    안녕하세요
    엑셀로 위의 수식을 만들어 잘 사용하고 있습니다.
    그런데 헬리컬 기어 축직각 방향과 치직각 방향의 수식은 어떻게 되는지 알수 있을까요???

  10. 도롱뇽 2020.03.12 16:25 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    치형 작도를 하는데 참고한 자료(그림, 수식 등)가 있으신가요?
    책이나 논문등의 정보를 알고 싶어서 문의드립니다.

  11. 임창환 2020.07.03 18:54 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    트로볼류트 커브로 설계하는 이유는 무엇 때문인가요?
    가공할때 호브외형을 따라 기초원 반경 미만 영역을 가공하면 될 것 같은데요.

    잘이해가 되지 않습니다.

    • BlogIcon 오만팔천 2020.07.04 18:22 신고 댓글주소 | 수정/삭제

      호브로 깎으면 커브가 그렇게 형성이 됩니다. 그 형상을 그대로 그린것입니다. 물론 이뿌리가 튼튼하다면 굳이 복잡한 커브는 필요 없습니다.

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