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아랫글과 관련하여 의문점이나 해결해야 하는 문제가 있다면 댓글이나 e58000골뱅이tro점kr로 메일을 주시면 필자도 해결점을 적극 찾아보겠습니다. - 글쓴이 오만팔천


아래 자료는 스크랩 및 상업적인 사용을 금합니다.

뉴턴-랩슨 법(Newton-Raphson method)은 역함수를 구할 수 없을 때 컴퓨터로 함숫값을 찾는 방법입니다.

어떤 원리인지 자세히 알아보겠습니다.

위 그림의 빨간색 곡선이 함수 f(x)라고 할 때 x0점의 접선 방정식을 구합니다.
 
접선 방정식인 일차 함수의 일반 방정식은 아래와 같습니다.

위 식에서 기울기 a는 f(x)를 미분해서 x0를 대입해서 구하면 아래와 같습니다.

값이 x0일 때 값은 f(x0)가 됩니다. 이 값들과 위에서 구한 기울기를 접선 방정식에 대입하면 아래와 같습니다.

위 식에서 b를 구하면 아래와 같이 됩니다.

구해진 값들로 일차 방정식을 완성하면 아래와 같이 됩니다.

위의 접선 방정식에서 x1은 y=0일 때이므로 이 값들을 위 식에 대입하면 아래와 같이 됩니다.

위 방정식을 x1에 대해 정리를 하면 아래와 같이 됩니다.

위 식을 일반식으로 바꾸면 아래와 같이 됩니다.


 
실제로 위의 식을 이용해 2의 제곱근을 구해 보면서 어떻게 해를 찾는지 계산해보겠습니다.

예제1)
2의 제곱근을 구한다는 것은 아래 식의 양수 해를 구하는 것과 같습니다.
 
위 식을 미분한 함수는 아래와 같습니다.

초기값 x0를 임의의 양수 5로 정해서 계산을 해 나가면 아래와 같이 됩니다.
위에서 보는 바와 같이 8번의 계산으로 소수점 이하 63자리까지 빠르게 해를 찾습니다.(위의 값은 PowerCalc로 계산 했습니다.)

프로그램에서 계산할 때는 f(xn)이 오차 범위 안에 있으면 계산을 종료하면 됩니다.
 
예제2)
inv함수를 '인벌류트 함수(inv) 수치해석 및 엑셀파일'에서 구합니다.

* 해를 찾지 못하는 경우
중근일 경우 함수 f(x)의 꼭짓점에 해당하여 근에 접근할 수록 접선의 기울기가 완만해져 근을 찾는 것이 매우 느려집니다. 또한, 미분 함수 f'(x)=0이면 분모가 0이 되어 계산할 수 없습니다.


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  1. DM 2013.01.31 09:13 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    이렇게 알기 쉽게 설명해놓은 글은 처음 보내요. 다른 수학 관련글들도 재미있게 보고 갑니다^^

    글이 많지 않다는것이 조금 아쉽네요^^;

  2. goldenkey 2013.02.15 23:18 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    뉴톤랩슨법에 대해 손쉽게 이해할 수 있어 감사드립니다.
    적용하기도 편하네요

  3. 김형민 2013.10.13 00:44 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    짧은 글이지만 굉장히 많은 도움이 되었습니다!!

  4. 고훈 2014.08.15 17:58 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    좋은 글 쉽게 정리해 주셔서 감사합니다.
    큰 도움이 되었습니다.

  5. 구경꾼 2014.08.21 23:05 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    뉴튼법은 누구나 쉽게 이해할수 있는 수치해석 기초죠..... 간단한 수식에 속도가 상당히 빠릅니다.... 3차방정식 이상 부터는 방정식 해법으로 푸는것보다 뉴턴법이 더 빠를수도 있습니다... 정식 해법으로 풀어봤자.. 3제곱근 2제곱근의 복잡한 조합인데.. 그거 구하는 삽질보다 뉴턴법 서너번 쓰는게 훨씬 빠를겁니다...

  6. 질문점 2014.12.05 15:25 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    x값은 사용자가 임의로 지정해야 하는건가요 ??

    • BlogIcon 오만팔천 2014.12.05 16:30 신고 댓글주소 | 수정/삭제

      초기 x값은 임의로 정하시면 됩니다.

      만약 해가 여러개 있으면 특정 해에 가까운 x을 선택하면 가까이 있는 해를 구하게 됩니다.

  7. 질문자 2015.05.07 15:49 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    식이 x^2-5 처럼 루트의 형식으로 x값을 구할 수 있는데도 뉴턴랩슨법을 사용하는 이유는 무엇인가요? 비선형 방정식이 고차의 지수를 가질 때 뉴턴랩슨법을 사용하는 장점에는 무엇이 있는지 궁금합니다.

    • BlogIcon 오만팔천 2015.05.07 18:26 신고 댓글주소 | 수정/삭제

      계산기가 계산을 하는 원리가 이런 방법으로 계산이 됩니다. 즉, 계산기의 원리의 기초지식이고 복잡한 수식을 프로그램하는데 응용 할 수 있습니다.뉴턴랩슨법의 장점은 빨리 계산한다는 것입니다.

  8. lee 2018.04.23 21:21 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    핵감사합니다 ㅠㅠㅠ 바로 이해갔어요

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