오버핀(over pin) 수치해석

핀이나 구를 톱니바퀴에 끼워 기어의 치수를 측정합니다. 이때 사용한 핀이나 구를 오버핀(over pin)이라 합니다. 측정 공구로 직접 측정하기 어려울 때 기어에 오버핀을 끼워서 측정 공구로 측정합니다.

1. 오버핀 거리

αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, θip: 오버핀 접접의 인벌류트 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, Pd: 오버핀 지름

위와 같이 오버핀을 끼웠을 때 기어와 접하는 점 B는 오버핀 중심과 기본원에 접선인 직선 위에 있습니다. 점 H는 인벌류트 곡선의 시작 점입니다. 직선 OC의 길이를 구하기 전에 θip를 먼저 구합니다.

위 식을 보면 θip에 대해 정리를 할 수 없습니다. 그래서 뉴턴-랩슨 법(Newton-Raphson method)으로 θip를 구합니다. (invθ = tanθ - θ를 인벌류트 함수라하며 일반적인 계산기에서 역함수 값을 구할 수 없습니다. 일반 계산기에 있는 inv키는 inverse[역, 반대]를 의미합니다..)

위 식을 정리하여 함수로 표현하면 아래와 같습니다.

위 함수의 그래프 보기

α0(압력각): 20, m(모듈): 2, Z(톱니 수): 19, Pd(오버핀 지름): 4, B(백래시): 0, X(전위계수): 0, 로 그린 그래프

그래프 접기

QBasic으로 프로그램 하는 법 보기

위의 뉴턴-랩슨식을 이용해서 θip를 구합니다. 함수를 미분하면 위와 같습니다. 윈도우 XP이면 실행 창에 qbasic을 입력하면 QBasic창이 열립니다. 윈도우7이면 http://www.qb64.net/에서 다운 받아 사용 할 수 있습니다.       CLS                        '화면을 지웁니다.       pi = 3.141592            'π 값       m = 2                      '모듈 값       Z = 19                     '톱니 수       a0 = 20 * pi / 180      '압력각(라디안 값으로 입력)       B = 0                       '백래시 값       X = 0                       '전위계수       Pd = 5                     '오버핀 지름 값       ais = a0 + pi / (2 * Z) + B / (Z * COS(a0)) - (1 + (2 * X) / Z) * SIN(a0) / COS(a0) '인벌류트 시작 각도       cip = pi / 2.01 - ais   '초기 값       s = 0                        '해를 찾기 위해 반복 계산하는 횟수 10   fx = m * Z * COS(a0) * (TAN(cip + ais) - cip) - Pd       'f(θip) 계산       IF fx < .00001 THEN IF fx > -.00001 THEN GOTO 20       '값이 오차 범위 안에 있으면 계산 종료       fx0 = m * Z * COS(a0) * (1 / (COS(cip + ais)) ^ 2 - 1)   '미분 함수 값 계산       cip = cip - fx / fx0                                                      'θip 값 계산       s = s + 1                                                                    '반복 횟수 계산       PRINT s, fx, cip * 180 / pi                                           '현재 값을 출력       GOTO 10                                                                   '반복 20   PRINT                                                                       '공백 라인 출력       PRINT s, ais * 180 / pi, cip * 180 / pi                            '계산 된 값 출력(degree로 출력) 뉴턴-랩슨 법(Newton-Raphson method)으로 θip를 구할 때 초기값을 0보다 충분히 크고 90도 보다 작은 값을 주어야 해를 찾을 수 있습니다.

QBasic 프로그램 접기

인벌류트 시작 각도(αis) 구하는 법 보기(일반기어)

αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, π: 원주율, B: 백래시 계수, X: 전위계수, Z: 톱니 수 위 그림은 인벌류트 거어의 치형 작도를 위한 수치해석의 인벌류트 곡선 부분에서 다룬 그림입니다. 위 그림에서 αis(인벌류트 곡선의 시작 각도)를 구합니다. 위 식을 정리하면 아래와 같습니다. 위 식으로 인벌류트 곡선의 시작 각도를 구할 수 있습니다.

인벌류트 시작 각도(αis) 접기

a. 톱니 수가 짝수 일 때

기어의 톱니 수가 짝 수 일 때는 양쪽 오버핀의 중심이 기어의 중심을 지나므로 첫 번째 그림에서 직선 OC의 길이를 구해서 오버핀의 끝과 끝의 길이를 쉽게 구할 수 있습니다.

위식을 정리하면 아래와 같습니다.

위 식으로 짝수 기어의 오버핀 길이를 구 할 수 있습니다.

b. 톱니 수가 홀수 일 때

Dm: 오버핀 거리, αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, θip: 오버핀 접접의 인벌류트 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, Pd: 오버핀 지름, π: 원주율

위는 홀수 톱니 기어이며 좌측의 오버핀이 π/Z만큼 회전하여 끼워저 있습니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.

위 식으로 홀수 기어의 오버핀 길이를 구 할 수 있습니다.

2. 오버핀의 최대 지름

PMax: 오버핀의 최대 지름, αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, θie: 기어에 사용된 인벌류트 곡선의 최대 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수

오버핀의 최대 지름은 기어에 사용된 인벌류트 곡선의 바깥쪽 끝점과 접하는 원의 지름입니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.

위 식으로 기어에 사용할 수 있는 오버핀의 최대 지름을 구할 수 있습니다.

기어에 사용된 인벌류트 곡선의 최대 각도(θie) 구하는 법 보기

α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, θie: 인벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수 범위의 최대 값, E: 이끝 모깎기 반지름 계수, X: 전위계수,  A: 호브의 디덴덤(일반기어의 어덴덤) 위 그림은 인벌류트 거어의 치형 작도를 위한 수치해석의 인벌류트 곡선 부분에서 다룬 그림입니다. 위 그림에서 θie를 구합니다. 위 식을 정리하면 아래와 같습니다. 위 식으로 기어에 사용된 인벌류트 곡선의 최대각도를 구할 수 있습니다.

최대 각도(θie) 접기

3. 오버핀의 최소 지름

PMin: 오버핀의 최소 지름, αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, θis: 기어에 사용된 인벌류트 곡선의 최소 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수

오버핀의 최소 지름은 기어에 사용된 인벌류트 곡선의 안쪽 시작점과 접하는 원의 지름입니다. 위 그림에서 이뿌리원과 겹치고 있으며 실제로 오버핀의 최소 지름보다 충분히 큰 지름을 사용 해야 됩니다.

위 식은 오버핀의 최대 지름을 구하는 식에서 인벌류트 곡선의 각도 값만 바꾼 식이며 위 식으로 오버핀의 최소 지름을 구할 수 있습니다.

기어에 사용된 인벌류트 곡선의 최소 각도(θis) 구하는 법 보기

αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, C: 호브 날끝 모깎기 반지름 계수, θis: 인벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수 범위의 최소 값, X: 전위계수, D: 호브의 어덴덤(일반기어의 디덴덤) 위 그림은 인벌류트 거어의 치형 작도를 위한 수치해석의 인벌류트 곡선 부분에서 다룬 그림입니다. 위 그림에서 θie를 구합니다. 위 식을 정리하면 아래와 같습니다. 위 식으로 기어에 사용된 인벌류트 곡선의 최소 각도를 구할 수 있습니다.

최소 각도(θis) 접기

4. 치형 중간의 오버핀지름(일반기어의 피치원에 접하는 오버핀 지름)

Pcnt: 치형의 중간에 해당하는 오버핀의 지름, αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, θic: 치형의 중간에 해당하는 인벌류트 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, X: 전위 계수

오버핀의 중심점 C는 전위원과 치형이 만나는 점 B에서 기초원에 접하는 점 A와 이루는 직선위에 있으며 수평선과 만나는 점입니다. 직각 △AOB와 직각 △AOC를 이용해서 오버핀의 지름을 구합니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.

위 식으로 전위원과 인벌류트 곡선이 만나는 점의 인벌류트 곡선의 각도를 구할 수 있습니다.

위 식으로 치형의 중간 부분과 접하는 오버핀의 지름을 구할 수 있습니다.

위 식으로 인벌류트 곡선의 시작 각도를 구할 수 있습니다.