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아랫글과 관련하여 의문점이나 해결해야 하는 문제가 있다면 댓글이나 e58000골뱅이tro점kr로 메일을 주시면 필자도 해결점을 적극 찾아보겠습니다. - 글쓴이 오만팔천


아래 자료는 스크랩 및 상업적인 사용을 금합니다.

핀이나 구를 톱니바퀴에 끼워 기어의 치수를 측정합니다. 이때 사용한 핀이나 구를 오버핀(over pin)이라 합니다. 측정 공구로 직접 측정하기 어려울 때 기어에 오버핀을 끼워서 측정 공구로 측정합니다.

1. 오버핀 거리
αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, θip: 오버핀 접접의 인벌류트 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, Pd: 오버핀 지름

위와 같이 오버핀을 끼웠을 때 기어와 접하는 점 B는 오버핀 중심과 기본원에 접선인 직선 위에 있습니다. 점 H는 인벌류트 곡선의 시작 점입니다. 직선 OC의 길이를 구하기 전에 θip를 먼저 구합니다.
위 식을 보면 θip에 대해 정리를 할 수 없습니다. 그래서 뉴턴-랩슨 법(Newton-Raphson method)으로 θip를 구합니다. (invθ = tanθ - θ를 인벌류트 함수라하며 일반적인 계산기에서 역함수 값을 구할 수 없습니다. 일반 계산기에 있는 inv키는 inverse[역, 반대]를 의미합니다..)

위 식을 정리하여 함수로 표현하면 아래와 같습니다.

위 함수의 그래프 보기
α0(압력각): 20, m(모듈): 2, Z(톱니 수): 19, Pd(오버핀 지름): 4, B(백래시): 0, X(전위계수): 0, 로 그린 그래프
그래프 접기

QBasic으로 프로그램 하는 법 보기
위의 뉴턴-랩슨식을 이용해서 θip를 구합니다.

함수를 미분하면 위와 같습니다.

윈도우 XP이면 실행 창에 qbasic을 입력하면 QBasic창이 열립니다. 윈도우7이면 http://www.qb64.net/에서 다운 받아 사용 할 수 있습니다.
      CLS                        '화면을 지웁니다.

      pi = 3.141592            'π 값
      m = 2                      '모듈 값
      Z = 19                     '톱니 수
      a0 = 20 * pi / 180      '압력각(라디안 값으로 입력)
      B = 0                       '백래시 값
      X = 0                       '전위계수
      Pd = 5                     '오버핀 지름 값
      ais = a0 + pi / (2 * Z) + B / (Z * COS(a0)) - (1 + (2 * X) / Z) * SIN(a0) / COS(a0) '인벌류트 시작 각도
      cip = pi / 2.01 - ais   '초기 값

      s = 0                        '해를 찾기 위해 반복 계산하는 횟수

10   fx = m * Z * COS(a0) * (TAN(cip + ais) - cip) - Pd       'f(θip) 계산
      IF fx < .00001 THEN IF fx > -.00001 THEN GOTO 20       '값이 오차 범위 안에 있으면 계산 종료
      fx0 = m * Z * COS(a0) * (1 / (COS(cip + ais)) ^ 2 - 1)   '미분 함수 값 계산
      cip = cip - fx / fx0                                                      'θip 값 계산
      s = s + 1                                                                    '반복 횟수 계산
      PRINT s, fx, cip * 180 / pi                                           '현재 값을 출력
      GOTO 10                                                                   '반복
20   PRINT                                                                       '공백 라인 출력
      PRINT s, ais * 180 / pi, cip * 180 / pi                            '계산 된 값 출력(degree로 출력)
뉴턴-랩슨 법(Newton-Raphson method)으로 θip를 구할 때 초기값을 0보다 충분히 크고 90도 보다 작은 값을 주어야 해를 찾을 수 있습니다.

QBasic 프로그램 접기

인벌류트 시작 각도(αis) 구하는 법 보기(일반기어)
αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, π: 원주율, B: 백래시 계수, X: 전위계수, Z: 톱니 수

위 그림은 인벌류트 거어의 치형 작도를 위한 수치해석의 인벌류트 곡선 부분에서 다룬 그림입니다. 위 그림에서 αis(인벌류트 곡선의 시작 각도)를 구합니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.

위 식으로 인벌류트 곡선의 시작 각도를 구할 수 있습니다.
인벌류트 시작 각도(αis) 접기

a. 톱니 수가 짝수 일 때

기어의 톱니 수가 짝 수 일 때는 양쪽 오버핀의 중심이 기어의 중심을 지나므로 첫 번째 그림에서 직선 OC의 길이를 구해서 오버핀의 끝과 끝의 길이를 쉽게 구할 수 있습니다.

위식을 정리하면 아래와 같습니다.

위 식으로 짝수 기어의 오버핀 길이를 구 할 수 있습니다.

b. 톱니 수가 홀수 일 때

Dm: 오버핀 거리, αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, θip: 오버핀 접접의 인벌류트 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, Pd: 오버핀 지름, π: 원주율

위는 홀수 톱니 기어이며 좌측의 오버핀이 π/Z만큼 회전하여 끼워저 있습니다.
위 식을 정리하면 아래와 같습니다.

위 식으로 홀수 기어의 오버핀 길이를 구 할 수 있습니다.


2. 오버핀의 최대 지름

PMax: 오버핀의 최대 지름, αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, θie: 기어에 사용된 인벌류트 곡선의 최대 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수

오버핀의 최대 지름은 기어에 사용된 인벌류트 곡선의 바깥쪽 끝점과 접하는 원의 지름입니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.

위 식으로 기어에 사용할 수 있는 오버핀의 최대 지름을 구할 수 있습니다.
기어에 사용된 인벌류트 곡선의 최대 각도(θie) 구하는 법 보기
α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, θie: 인벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수 범위의 최대 값, E: 이끝 모깎기 반지름 계수, X: 전위계수,  A: 호브의 디덴덤(일반기어의 어덴덤)

위 그림은 인벌류트 거어의 치형 작도를 위한 수치해석의 인벌류트 곡선 부분에서 다룬 그림입니다. 위 그림에서 θie를 구합니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.

위 식으로 기어에 사용된 인벌류트 곡선의 최대각도를 구할 수 있습니다.

최대 각도(θie) 접기


3. 오버핀의 최소 지름

PMin: 오버핀의 최소 지름, αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, θis: 기어에 사용된 인벌류트 곡선의 최소 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수

오버핀의 최소 지름은 기어에 사용된 인벌류트 곡선의 안쪽 시작점과 접하는 원의 지름입니다. 위 그림에서 이뿌리원과 겹치고 있으며 실제로 오버핀의 최소 지름보다 충분히 큰 지름을 사용 해야 됩니다.

위 식은 오버핀의 최대 지름을 구하는 식에서 인벌류트 곡선의 각도 값만 바꾼 식이며 위 식으로 오버핀의 최소 지름을 구할 수 있습니다.

기어에 사용된 인벌류트 곡선의 최소 각도(θis) 구하는 법 보기
αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수, C: 호브 날끝 모깎기 반지름 계수, θis: 인벌류트 곡선 작도를 위한 각도 변수 범위의 최소 값, X: 전위계수, D: 호브의 어덴덤(일반기어의 디덴덤)

위 그림은 인벌류트 거어의 치형 작도를 위한 수치해석의 인벌류트 곡선 부분에서 다룬 그림입니다. 위 그림에서 θie를 구합니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.

위 식으로 기어에 사용된 인벌류트 곡선의 최소 각도를 구할 수 있습니다.
최소 각도(θis) 접기

4. 치형 중간의 오버핀지름(일반기어의 피치원에 접하는 오버핀 지름)

Pcnt: 치형의 중간에 해당하는 오버핀의 지름, αis: 인벌류트 곡선의 시작 각도, θic: 치형의 중간에 해당하는 인벌류트 각도, α0: 압력각, m: 모듈, Z: 톱니 수X: 전위 계수

오버핀의 중심점 C는 전위원과 치형이 만나는 점 B에서 기초원에 접하는 점 A와 이루는 직선위에 있으며 수평선과 만나는 점입니다. 직각 △AOB와 직각 △AOC를 이용해서 오버핀의 지름을 구합니다.

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.

위 식으로 전위원과 인벌류트 곡선이 만나는 점의 인벌류트 곡선의 각도를 구할 수 있습니다.

위 식으로 치형의 중간 부분과 접하는 오버핀의 지름을 구할 수 있습니다.

위 식으로 인벌류트 곡선의 시작 각도를 구할 수 있습니다.


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  1. 기어 2013.01.11 13:48 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    인벌류트 시작각도에서 알파is 구하는 식에서 B가 무엇을 뜻하는지요?? 백래시계수인지??B값을 0으로 넣어도 압력각알파가 보통 20도인데 계산하면 알파is값이 19.7정도가 나오는데 (전위계수도 0) .. 뭔가 이상합니다 도움부탁합니다~

    • BlogIcon 오만팔천 2013.01.11 17:19 신고 댓글주소 | 수정/삭제

      B는 백래시계수가 맞고 백래시 없는 기어는 0으로 계산하면 됩니다.

      인벌류트 시작 각도와 압력각은 전혀 다른값입니다.

      기어에 사용 되는 인벌류트가 얼마만큼 회전 되어 있는지를 나타내는 각도가 인벌류트 시작 각도입니다.

      기어 잇수를 알려주시면 저도 구해보겠습니다.

  2. 기어 2013.01.30 08:33 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    안녕하세요 잇수는 24개 입니다.. 전위계수는 0 이고 백래시 계수는 몰라서 0으로 했습니다.

  3. 기어 2013.01.30 17:00 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    위 공식으로 풀면 알파is는 19.7014961이 나오는데.. 이상하네요..
    제가 뭘 잘못한건지???

    • BlogIcon 오만팔천 2013.01.30 17:46 신고 댓글주소 | 수정/삭제

      압력각 20도를 라디안으로 바꾸면 0.34906585이 됩니다.
      sin20도는 0.342020143 이고
      cos20도는 0.939692621 이고
      파이는 3.141592654 이고
      값을 계산하면 0.050545463 이 됩니다. 십진 값으로 바꾸면 2.896041708 이 됩니다.



  4. 발해 2013.05.10 09:40 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    헬리컬기어 같은 경우 측정법은 어떻게 되나요?
    비틀림각도가 들어가면 어떻게 측정해야 되나요

    • BlogIcon 오만팔천 2013.05.10 14:58 신고 댓글주소 | 수정/삭제

      헬리컬 계산법은 만들지 않아서 저에게 없습니다.

      헬리컬의 재원은 치직각 값인데 이것을 축직각으로 바꾸고 오버핀도 축직각값으로 바꾸듯이 바꿉니다. 그러면 오버핀이 타원으로 됩니다.

      그러면 위의 문서 처럼 수식을 유도 할 수 있습니다.

  5. 궁금해 2013.09.26 16:56 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    좋은 정보 감사드립니다.

    지금 계산을 해보는데 인벌류트 시작 각도가 (-)값이 나옵니다.ㅠㅠ

    어찌해야 할까요??ㅠㅠ

    잇수 : 30, 전위계수 : 0.1, 압력각 : 45도 .... 백래쉬는 몰라서 0으로 했습니다.

  6. 궁금해 2013.09.27 16:00 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    음수값이 나오면 절대값으로 하는 건가요? 아님 방향이 반대 라는 건가요??
    여기서 음수의 의미를 잘 모르겠네요ㅠ

    계산하면,,,, 세타ip = 57.060, ais = -9.678이 나오네요... 그럼 저 그림에 어떻게 적용 할 수 있을까요??ㅠ

    • BlogIcon 오만팔천 2013.09.27 15:21 신고 댓글주소 | 수정/삭제

      음수값 그대로 사용하면 됩니다. 즉, 반대로 회전 된것입니다.

      음수 값이면 기어의 인벌류트 곡선을 연장하여 기초원과 만나는 점이 수평선 아래쪽에 있게 됩니다.

  7. 고율 2013.11.22 11:49 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    핀으로 기어 경을 측정하는것과 볼로 측정하는 차이가 먼가요 ?>

  8. 2014.04.15 10:17 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    비밀댓글입니다

  9. 이동민 2016.02.17 08:54 댓글주소 | 수정/삭제 | 댓글

    헬리컬 기어의 경우도 위와 같은 방법으로 오버핀 치수를 해석 할 수 있나요?

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