생각에서 현실까지

귀류법이 무엇인지 자세히 알고 싶으면 귀류법으로 2의 제곱근이 유리수가 아님을 증명하다를 읽어 보기 바랍니다. [증명]소수는 유한하지 않다. 이 내용은 BC 300년경에 활약한 그리스의 수학자 유클리드가 기록한 증명입니다. '소수는 유한하다'고 가정합니다. 는 소수의 집합입니다. 위의 소수집합에서 자연수 를 생각할 수 있습니다. 은 보다 크므로 소수집합에 속하지 않는 합성수입니다. 합성수란 소수 곱으로 이루어진 자연수입니다. 합성수 을 어떤 소수로 나누면 나누어집니다. 어떤 소수 로 을 나누면 아래와 같습니다. 부분은 가 어떤 소수가 되던 반드시 나누어집니다. 하지만 는 어떤 소수로도 나누어지지 않습니다. 따라서 은 나누어지지 않습니다. 합성수 은 소수집합 의 어떤 수로도 나누어지지 않으므로 이 합성수가..

많은 문서에서 '는 무리수다'를 귀류법으로 증명하고 있는데 문제가 있습니다. 는 유리수가 아니다. = 는 무리수이다. 위의 두 문장을 같다고 생각하여 귀류법으로 증명하는 듯합니다. 하지만 위 문장은 같지 않습니다. '유리수가 아니다'는 무리수나 허수일 수 있기 때문입니다. '는 무리수이다'를 귀류법으로 증명하기 위해서는 '허수가 아니다'나 '는 실수다'를 먼저 증명해야 합니다. 수학은 '같음'만을 추구하는 학문이며 증명에서 다음 단계로 넘어가기 위해서는 반드시 '같음'이 인증되어야 합니다. 수학은 단 하나의 오류만 있어도 전체 증명을 부정합니다. 귀류법 귀류법(歸謬法)과 같은 말로 쓰이는 말은 배리법(背理法), 반증법(反證法)이 있습니다. 기본적으로 귀류법은 부정명제를 증명할 때 사용합니다. 즉, '~아..

위 수식은 인벌류트 기어의 치형 작도를 위한 수치해석에 소개된 수식이며 곡률반지름과 관계 없는 변수를 제거한 식입니다. 위 수식은 인벌류트 곡선의 수식을 1,2차 미분한 식입니다. 위의 수식들을 곡률반지름, 곡률에서 구한 수식에 적용하여 정리하면 아래와 같습니다. 위에서 구한 수식을 XY평면에 그래프로 나타내면 아래와 같습니다. 파란색 곡선은 인벌류트 곡선이며 녹색 곡선은 인벌류트 곡선의 곡률반지름 곡선입니다.(m: 1, Z: 19, α0: 20) 기어에 사용되는 곡선은 붉은색 동그라미 부분의 곡선입니다. 인벌류트 곡선의 P점에서 곡률 반지름은 S값이 됩니다.(인벌류트 곡선 수식이 매개 변수를 이용한 수식이므로 곡률반지름의 수식에서 x값은 인벌류트 수식의 x값을 그대로 사용하면 됩니다.)

곡률반지름은 곡선의 극히 짧은 구간을 원호로 환산할 때 그 원호의 반지름을 곡률반지름이라고 합니다. 따라서 원의 곡률반지름은 그 원의 반지름이 되며 원 위의 모든 점에서 곡률반지름은 같습니다. 위 그림에서 파란색 곡선 위의 점을 라하고 인접한 점을 라하고 의 법선이 서로 만나는 점은 가 되고 점 가 점 에 한없이 가까울 때 점 에 대한 곡률반지름은 가 됩니다. 이를 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 위 식을 통해 원에 대한 곡률반지름을 구하면, 먼저 짧은 구간의 길이로 원을 100 등분해서 구하면 길이는 원둘레를 100으로 나눈 값이 되며 각도는 360을 100으로 나눈 값이 됩니다. 수식은 아래와 같습니다. 위의 값을 통해서 원의 곡률반지름은 그 원의 반지름이 됨을 알 수 있습니다. 곡률은 곡률반지름..

미분법을 이용해서 비선형 연립방정식 해를 구합니다. 위의 뉴턴-랩슨 법(Newton-Raphson method)을 행렬로 확장하면 아래와 같은 식이 됩니다. 위식에서 J는 야코비안 행렬이며 J-1은 야코비안 행렬의 역행렬입니다. 독일의 수학자 Karl Gustav Jacob Jacobi의 이름을 따서 야코비안 행렬(Jacobian matrix)이라하며 각항에 대한 미분함수로 이루어집니다. 2차 행렬의 역행렬을 구하면 위와 같습니다. 3차 행렬의 역행렬은 위와 같습니다. 예제1) 위의 연립 방정식의 해를 구하겠습니다. 초기 값을 1,1로 적당히 정합니다. 위는 함수 행렬이며 초기 값을 넣어 계산을 하면 위와 같습니다. 야코비안 행렬이며 값을 넣어 계산하면 위와 같습니다. 야코비안 행렬의 역행렬은 위와 같습..

f ( °) = 왼쪽에 각도를 입력하면 우측에 인벌류트 함수 값이 구해지며 우측에 인벌류트 함수 값을 넣으면 좌측에 각도가 구해집니다. (스마트폰에서는 안됩니다.) 인벌류트 기어에 인벌류트 곡선이 사용되므로 기어 해석을 위해 인벌류트 함수의 역함수 값을 알아야 되는 경우가 있습니다. 이것을 뉴턴-랩슨 법(Newton-Raphson method)으로 구해 보겠습니다. 위 함수가 인벌류트 함수입니다. 위 함수가 어떤 값을 가질 때 α값을 구하는 방법입니다. (일반 계산기에 있는 inv키는 inverse[역, 반대]를 의미합니다.) 위는 인벌류트 함수의 그래프입니다. 위 공식을 이용해서 해를 찾습니다. 위 공식의 자세한 설명은 뉴턴-랩슨 법(Newton-Raphson method)을 참고하시기 바랍니다. 인벌..

뉴턴-랩슨 법(Newton-Raphson method)은 역함수를 구할 수 없을 때 컴퓨터로 함숫값을 찾는 방법입니다. 어떤 원리인지 자세히 알아보겠습니다. 위 그림의 빨간색 곡선이 함수 f(x)라고 할 때 x0점의 접선 방정식을 구합니다. 접선 방정식인 일차 함수의 일반 방정식은 아래와 같습니다. 위 식에서 기울기 a는 f(x)를 미분해서 x0를 대입해서 구하면 아래와 같습니다. x 값이 x0일 때 y 값은 f(x0)가 됩니다. 이 값들과 위에서 구한 기울기를 접선 방정식에 대입하면 아래와 같습니다. 위 식에서 b를 구하면 아래와 같이 됩니다. 구해진 값들로 일차 방정식을 완성하면 아래와 같이 됩니다. 위의 접선 방정식에서 x1은 y=0일 때이므로 이 값들을 위 식에 대입하면 아래와 같이 됩니다. 위 ..